摘要： 使用位图技术实现N个互不相等的数的排序。分别使用Java和C实现。
难度： 初级
1. 问题描述
给定不大于整数 n 的 k 个互不相等的整数 ( k <n ) ， 对这些整数进行排序。本文讨论的内容具体可参见《编程珠玑》（第二版）的第一章。
2. 问题分析
关于排序，已经有多种排序方法了：插入排序，归并排序，快速排序，希尔排序等。每种排序都有不同的用武之地。为什么需要位图排序呢？所有的内部排序（上述所提及）都必须一次性将所有排序元素载入内存。假如有1000,000个整数，每个整数4字节，则意味着，至少需要4000,000B 约为 4MB 的内存空间， 如果仅仅只有 1MB 的内存空间可用，那么，应该怎么办呢？
很多问题都有通用的求解策略，而在通用之外，常常需要根据问题的实际需求及特征挖掘有针对性的解决方案。这里的特征是，所有整数均不大于 n , 并且整数互不重复。怎么利用这一特征呢？
可以采用位图技术。所谓位图技术，就是将问题映射到位串上，对位串进行处理后，再将位串逆射到问题空间上。具体而言， 假设要对数组 不大于 20 的元素数组 [5, 2, 12, 18, 7, 9, 13, 19, 16, 4, 6] 进行排序， 则可以将其映射到位串 11010011001001110100 ，其中， 1 表示数组元素出现的位置（最高位在后面，最低位在左边，以下标0起头），然后，从低位往高位扫描， 即可得到 { 2, 4, 5, 6, 9, 12,13,16,18,19} 这样就排序好了。根据位图技术， 1000,000 个互不重复的整数数组的排序， 只需要大约 1000,000 b = 0.125MB 内存空间。
3. 详细设计
[ 1 ] 输入： 一个未排序的数组， 数组中的各数互不相等， 都不大于某个整数 n , 且稠密地分布在[0, n-1] 的区间中
[ 2 ] 输出： 一个已排序的数组
[ 3 ] 数据结构： 位向量。 位图排序的关键在于位向量的实现。位向量有“置一”、“清零”、“测试位是否为1”等操作。从实现角度，可以使用一个整型数组来实现（因为在Java中，移位、按位运算都是以整数为基本单位），这意味着，每32位为一组。 位向量长度最好取为 32 的倍数， 以方便编程。 假设有 64位， 那么对第59位置1, 59/32 = 1 ， 59 %32 = 27；这意味着，需要对第1组 a[1] 的第 27 位进行置位。 除以32 可使用 右移 5 位 （ i >> 5） 来实现， 对 32 取模， 可以通过 1 << ( i & 0x1f ) 来实现。 剩下的，就是细节问题了，比如，确保边界不出错。位串方向规定为： a[p]a[p-1]...a[1]a[0] , p = N / 32; N 为不小于 n 的 32 倍数的最小整数。 a[p] 为最高位的32位， a[0] 为最低位的32位。
4. 算法描述
STEP1： 根据问题描述确定位向量的位数， 初始化位向量bv；
STEP2： 对于数组的每一个元素，用其数值作为位置，对位向量的相应位置 1；
STEP3： 从低位向高位扫描，对位向量的每一位，若位为1, 则输出该位的位置下标，作为最终排序数组的元素值。
5. Java 代码实现
package zzz.study.datastructure.vector;/** * 实现 n 维位向量 * */public class NBitsVector { private static final int BITS_PER_INT = 32; private static final int SHIFT = 5; // 将一个整型数组中的所有整数的位串联成一个位向量 private int[] bitsVector; // 位向量的总位数 private long bitsLength; public NBitsVector(int n) { int i = 1; // 考虑到左移位可能导致溢出, 从而陷入死循环 while ((i< 0 && (i< < n) { i++; } this.bitsLength = i * (long)BITS_PER_INT; if (bitsVector == null) { bitsVector = new int[i]; } } /** * setBit: 将位向量的第 i 位置一 * @param i 要置位的位置 */ public void setBit(int i) { bitsVector[i >> SHIFT] |= 1 << (i & 0x1f); } /** * clrBit: 将位向量的第 i 位清零 * @param i 要清零的位置 */ public void clrBit(int i) { bitsVector[i >> SHIFT] &= ~(1 << (i & 0x1f)); } /** * testBit: 测试位向量的第 i 位是否为 1 * @param i 测试位的位置 * @return 若位向量的第 i 位为 1, 则返回true, 否则返回 false */ public boolean testBit(int i) { return (bitsVector[i >> SHIFT] & 1 << (i & 0x1f)) != 0; } /** * clr: 位向量全部清零 */ public void clr() { int vecLen = bitsVector.length; for (int i = 0; i < vecLen; i++) { bitsVector[i] = 0; } } /** * getBitsLength: 获取位向量的总位数 */ public long getBitsLength() { return bitsLength; } /** * 获取给定整数 i 的二进制表示， 若高位若不为 1 则补零。 * @param i 给定整数 i */ public String intToBinaryStringWithHighZero(int i) { String basicResult = Integer.toBinaryString(i); int bitsForZero = BITS_PER_INT - basicResult.length(); StringBuilder sb = new StringBuilder(""); while (bitsForZero-- > 0) { sb.append('0'); } sb.append(basicResult); return sb.toString(); } public String toString() { StringBuilder sb = new StringBuilder(""); for (int i = bitsVector.length-1; i >=0 ; i--) { sb.append(intToBinaryStringWithHighZero(bitsVector[i])); sb.append(" "); } return sb.toString(); } public static void main(String[] args) { NBitsVector nbitsVector = new NBitsVector(64); nbitsVector.setBit(2); System.out.println(nbitsVector); nbitsVector.setBit(7); nbitsVector.setBit(18); nbitsVector.setBit(25); nbitsVector.setBit(36); nbitsVector.setBit(49); nbitsVector.setBit(52); nbitsVector.setBit(63); System.out.println(nbitsVector); nbitsVector.clrBit(36); nbitsVector.clrBit(35); System.out.println(nbitsVector); System.out.println("52: " + nbitsVector.testBit(52)); System.out.println("42: " + nbitsVector.testBit(42)); nbitsVector.clr(); System.out.println(nbitsVector); } }
package zzz.study.datastructure.vector;import java.util.ArrayList;import java.util.List;/** * 实现 n 维位向量 *** 增强版 * n 可以为相当大的数值, 使用整形数组的数组的所有位来串联成一个位数不小于 n 的位向量 */public class EnhancedBigNBitsVector { private static final int BITS_PER_INT = 32; private static final int INTS_PER_ARRAY = 1024; private static final int BITS_PER_ARRAY = BITS_PER_INT * INTS_PER_ARRAY; private static final int SHIFT = 5; // 将一个整型数组的数组中的所有整数的位串联成一个位向量 private List bitsVector; // 位向量的总位数 private long bitsLength; public EnhancedBigNBitsVector(long n) { long intNums = (n % BITS_PER_INT == 0) ? (n / BITS_PER_INT) : (n / BITS_PER_INT + 1); long arrNums = (intNums % INTS_PER_ARRAY == 0) ? (intNums / INTS_PER_ARRAY) : (intNums / INTS_PER_ARRAY + 1); this.bitsLength = BITS_PER_INT * INTS_PER_ARRAY * arrNums; if (bitsVector == null) { bitsVector = new ArrayList (); for (int i=0; i< arrNums; i++) { bitsVector.add(new int[INTS_PER_ARRAY]); } } } /** * setBit: 将位向量的第 i 位置一 * * @param i 要置位的位置 */ public void setBit(long i) { int arrIndex = (int)(i / BITS_PER_ARRAY); int intBits = (int)(i - arrIndex * BITS_PER_ARRAY); int intIndex = intBits / BITS_PER_INT; int[] arr = bitsVector.get(arrIndex); arr[intIndex] |= 1 << (intBits & 0x1f); } /** * clrBit: 将位向量的第 i 位清零 * * @param i 要清零的位置 */ public void clrBit(long i) { int arrIndex = (int)(i / BITS_PER_ARRAY); int intBits = (int)(i - arrIndex * BITS_PER_ARRAY); int intIndex = intBits / BITS_PER_INT; int[] arr = bitsVector.get(arrIndex); arr[intIndex] &= ~(1 << (intBits & 0x1f)); } /** * testBit: 测试位向量的第 i 位是否为 1 * * @param i 测试位的位置 * @return 若位向量的第 i 位为 1, 则返回true, 否则返回 false */ public boolean testBit(long i) { int arrIndex = (int)(i / BITS_PER_ARRAY); int intBits = (int)(i - arrIndex * BITS_PER_ARRAY); int intIndex = intBits / BITS_PER_INT; int[] arr = bitsVector.get(arrIndex); return (arr[intIndex] & 1 << (intBits & 0x1f)) != 0; } /** * clr: 位向量全部清零 */ public void clr() { int vecLen = bitsVector.size(); for (int i = 0; i < vecLen; i++) { bitsVector.set(i, new int[INTS_PER_ARRAY]); } } /** * getBitsLength: 获取位向量的总位数 */ public long getBitsLength() { return bitsLength; } /** * 返回位向量的表示 * @return 一个整数数组, 里面每个整数表示位出现的位置 */ public List expr() { List bitVectorExpr = new ArrayList (); for (long i=0; i < bitsLength; i++) { if (testBit((int)i)) { bitVectorExpr.add((int)i); } } return bitVectorExpr; } /** * 获取给定整数 i 的二进制表示， 若高位若不为 1 则补零。 * * @param i 给定整数 i */ public String intToBinaryStringWithHighZero(int i) { String basicResult = Integer.toBinaryString(i); int bitsForZero = BITS_PER_INT - basicResult.length(); StringBuilder sb = new StringBuilder(""); while (bitsForZero-- > 0) { sb.append('0'); } sb.append(basicResult); return sb.toString(); } public String toString() { StringBuilder sb = new StringBuilder(""); for (int i=bitsVector.size()-1; i>=0; i--) { int[] arr = bitsVector.get(i); for (int j = arr.length - 1; j >= 0; j--) { sb.append(intToBinaryStringWithHighZero(arr[j])); } } return sb.toString(); } public static void main(String[] args) { EnhancedBigNBitsVector nbitsVector = new EnhancedBigNBitsVector(Integer.MAX_VALUE); nbitsVector.setBit(2); //System.out.println(nbitsVector); nbitsVector.setBit(7); nbitsVector.setBit(18); nbitsVector.setBit(25); nbitsVector.setBit(36); nbitsVector.setBit(49); nbitsVector.setBit(52); nbitsVector.setBit(63); //System.out.println(nbitsVector); nbitsVector.clrBit(36); nbitsVector.clrBit(35); //System.out.println(nbitsVector); System.out.println("52: " + nbitsVector.testBit(52)); System.out.println("42: " + nbitsVector.testBit(42)); System.out.println(nbitsVector.expr()); nbitsVector.clr(); //System.out.println(nbitsVector); System.out.println(nbitsVector.expr()); }} package algorithm.sort;import java.util.Arrays;import datastructure.vector.NBitsVector;/** * 位图排序 * */public class BitsMapSort { private NBitsVector nBitsVector; public BitsMapSort(int n) { if (nBitsVector == null) { nBitsVector = new NBitsVector(n); } } public int[] sort(int[] arr) throws Exception { if (arr == null || arr.length == 0) { return null; } nBitsVector.clr(); int arrLen = arr.length; for (int i=0; i < arrLen ; i++) { if (arr[i] < 0 || arr[i] > nBitsVector.getBitsLength()-1) { throw new Exception("给定整数 " + arr[i] + " 超过范围，请检查输入"); } if (nBitsVector.testBit(arr[i])) { throw new Exception("存在重复整数: " + arr[i] + " ，请检查输入！"); } nBitsVector.setBit(arr[i]); } int bitsLength = nBitsVector.getBitsLength(); int count = 0; for (int i=0; i < bitsLength; i++) { if (nBitsVector.testBit(i)) { arr[count++] = i; } } return arr; } public static int maxOfArray(int[] arr) { int max = arr[0]; for (int i=1; i < arr.length; i++) { if (arr[i] > max) { max = arr[i]; } } return max; } public static void test(int[] arr) { try { // 63 可以改为 数组最大值 maxOfArray(arr) BitsMapSort bms = new BitsMapSort(64); System.out.println("排序前： " + Arrays.toString(arr)); int[] sorted = bms.sort(arr); System.out.println("排序后： " + Arrays.toString(sorted)); } catch(Exception e) { System.out.println(e.getMessage()); } } public static void main(String[] args) { int[] empty = null; test(empty); empty = new int[0]; test(empty); int[] unsorted = new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 10, 25, 37, 48, 13}; test(unsorted); int[] unsorted2 = new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 7, 25, 37, 48, 13}; test(unsorted2); int[] unsorted3 = new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 72, 25, 37, 48, 13}; test(unsorted3); }}
6. C 源程序：
/* * bitvec.c : N维位向量的实现 * author: shuqin1984 2011-08-31 */#include#define N 10000000#define M ((N%32==0) ? (N/32) : (N/32+1))#define SHIFT 5#define mod32(n) ((n) - (((n) >> SHIFT) << SHIFT))int bitvec[M]; // N维位向量用 M个整数的数组来实现 int test(int i); // 测试位向量的位 i 是否为 1void set(int i); // 将位向量第 i 位置 1void clear(int i); // 将位向量第 i 位清零void clearAll(); // 将位向量所有位清零 void show(); // 显示位向量的当前值void printb(int x, int i); // 打印正整数 x 的第 i 位二进制 void printbz(int x, int n); // 打印正整数的二进制表示(从低位数起的n位)，若位数不够前面补零 int test(int i){ assert(i >= 0); return (bitvec[i>>SHIFT] & (1 << mod32(i))) != 0;}void set(int i){ assert(i >= 0); bitvec[i>>SHIFT] |= (1 << mod32(i));}void clear(int i){ assert(i >= 0); bitvec[i>>SHIFT] &= ~(1 << mod32(i));}void clearAll(){ int i; for (i = 0; i < M; i++) { bitvec[i] = 0; } }void show(){ int i = 0; if (M == 1) { printbz(bitvec[i], N); } else { int bits = (N%32==0)? 32: (N%32); printbz(bitvec[M-1], bits); for (i=M-2; i >=0 ; i--) { printbz(bitvec[i], 32); } } printf("\n");}void printb(int x, int i){ printf("%c", '0' + ((((unsigned)x) & (1 << i)) >> i)); }void printbz(int x, int n){ int i; for (i = n-1; i >= 0; i--) { printb(x, i); }}
/* * bitsort.c: 实现位图排序并测量运行时间 * author: shuqin1984 2011-8-31 */#include#include #include #include #include #include "bitvec.c"#define MAX_LEN 10void bitsort(char* filename);void bitsortf();void runtime(void (*f)());void testdata(int, int);int randRange(int low, int high);int main(){ srand(time(0)); printf("sizeof(int) = %d\n", sizeof(int)); printf("RAND_MAX = %d\n", RAND_MAX); printf("INT_MAX = %d\n", RAND_MAX); runtime(bitsortf); getchar(); return 0;}/* * 从指定文件名中读取数据，并进行排序，最后将排序后的数据写入 output.txt 中 */void bitsort(char* filename){ int i; char buf[MAX_LEN]; FILE* fin = fopen(filename, "r"); if (fin == NULL) { fprintf(stderr, "can't open file: %s", filename); exit(1); } while (fgets(buf, MAX_LEN, fin)) { set(atoi(buf)); } fclose(fin); // show(); FILE* fout = fopen("output.txt", "w"); if (fout == NULL) { fprintf(stderr, "can't open file: %s", "output.txt"); exit(1); } for (i = 0; i < N; i++) { if (test(i)) { fprintf(fout, "%d\n", i); } } fclose(fout); printf("---------- sort successfully ---------------"); printf("\n"); }void bitsortf(){ bitsort("data.txt");}void runtime(void (*f)()){ printf("runtime ... \n"); int scale = 10; while (scale <= N) { testdata(scale, N); clock_t start = clock(); (*f)(); clock_t end = clock(); printf("scale: %d\t cost : %8.4f\n", scale, (double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC); printf("---------------------------------------------------"); printf("\n"); scale *= 10; }}/* * 创建测试数据：选出不大于 max 的 num 个正整数，并写入文件 data.txt 中 */void testdata(int num, int max){ int i; assert(num <= max); FILE* fout = fopen("data.txt", "w"); if (fout == NULL) { fprintf(stderr, "can't open file: %s", "data.txt"); exit(1); } for (i = 0; i < num; i++) { fprintf(fout, "%d\n", (rand()*rand()) % max); } fclose(fout); printf("---------- testdata successfully ---------------"); printf("\n");} /* * randRange: 生成给定范围的随机整数 */ int randRange(int low, int high) { assert (high <= low) ; return rand() % (high-low) + low; }
7. 额外说明
位图技术，可以说是一种非常有效的求解技术，在文件管理中就有应用到， 其作用类似于二分搜索技术。位图技术还能检测重复整数，缺失整数，比如在 43亿多个不大于2^32的随机整数排列中寻找一个重复整数（根据抽屉原理知必然存在）。在读书时，不仅要汲取问题的求解方案，还要领悟背后的通用技术。
如果问题不是对整数数组排序，而是对一系列记录排序，怎么利用已有算法呢？ 可以通过某种函数对记录的关键字进行计算，得到互不重复的整数（这个过程类似于散列法），然后，使用位图技术对整数数组进行排序。